11 de julho de 2019

As desventuras do misterioso número 11: da intriga à magia!

Caros leitores, no passado dia 5 de abril, trouxe-vos dois pequenos truques que permitem fazer cálculos mentais rapidamente: o produto de dois números com dois algarismos e o quadrado de um número com dois algarismos que termine em 5.
Hoje, 11 de julho, vamos continuar a exercitar o cálculo mental, pelo que vos proponho a continuação da epopeia de cálculos rápidos e eficazes. Se ainda não vos convenci, atrevo-me a dizer-vos que vamos aprender a fazer “cálculos de cabeça” mais depressa do que julgávamos ser possível. Preparados?
Desta vez, escolhi o número 11: um número natural, ímpar, primo (só tem dois divisores: ele próprio e a unidade) e o primeiro número, com dois algarismos, capicua (número que lido da esquerda para a direita e da direita para a esquerda, representa o mesmo valor). Geralmente ao número 11 estão associados mitos e desgraças, sendo por este motivo rotulado como “mau agouro” e responsável por um vasto leque de infortúnios. Será verdade ou simplesmente coincidência?
Em várias culturas antigas o número 11 “simboliza a imperfeição e o pecado”, razão pela qual, ao longo da história da humanidade, se destacam alguns acontecimentos trágicos relacionados com o enigmático número 11.Entre os quais, recordo o atentado de 11 de setembro de 2001 às Torres Gémeas do World Trade Center e o tsunami de Sendai, no Japão, que destruiu a costa japónica a 11 de março de 2011. No entanto, para alguns o dia 11 é um dia de felicidade. No meu caso, fui mãe pela segunda vez a 11 de maio. Há quem dê importância ao significado oculto dos números e como estes influenciam a humanidade. Esta corrente chama-se Numerologia e nada tem a ver com a Matemática.
Independentemente de gostarmos ou não de Matemática, de simpatizarmos ou não com o número 11, sabemos de cor e salteado a tabuada da multiplicação por 11, isto é, 1 x 11 = 11; 2 x 11 = 22; 3 x 11 = 33, ..., 10 x 11 = 110. Mas como multiplicar mentalmente qualquer número com dois algarismos por 11? É extremamente fácil, se soubermos “o segredo”. E que segredo é este? Consideremos o problema 45 x 11. O resultado é um número que começa por 4 e termina em 5 (tal como o 45) e que entre o 4 e o 5 acrescentamos a soma resultante da adição de 4 com 5 (que é 9),pelo que o resultado de 45 x 11 é 495. Nada mais fácil, certo? Tentemos agora 62 x 11. Ora, 6 + 2 = 8 e colocando o 8 entre os algarismos 6 e 2 temos 682. Perfeito! Avancemos para mais um cálculo 81 x 11. Obteve, mentalmente, 891? Está no caminho certo!
Antes de se congratular e ficar demasiado convencido, tente mentalmente 74 x 11. A razão pela qual coloco este desafio, é que até agora só revelamos uma parte do segredo da multiplicação por 11. A situação aqui é ligeiramente diferente das três anteriores, uma vez que a soma de 7 e 4 é 11 (um número maior do que 9) e não podemos colocar “todo o número 11” no meio de 74, pois 74 x 11 não é 7114. Então como procedemos? Tal como nos casos anteriores, calculamos 7 + 4 = 11. Agora, “trabalhemos” com o 11 do seguinte modo: colocamos apenas o algarismo da ordem das unidades (1) no meio de 74, e o algarismo da ordem das dezenas (1) é adicionado ao algarismo da ordem das dezenas de 74, pelo que a resposta correta é 814. Na verdade, abordamos o problema conforme a figura 1.
Avancemos para outro exemplo e calculemos 59 x 11. Como 5 + 9 = 14, colocamos o 4 (algarismo da ordem das unidades de 14) entre o 59 e o 1 (algarismo da ordem das dezenas de 14) será adicionado ao 5 (algarismo das dezenas do 59) pelo que a resposta do problema proposto é 649.
Vamos a outro cálculo? Diga rapidamente o resultado de 77 x 11. Se chegou à solução 847, parabéns está no rumo certo da sabedoria. Agora já pode dizer aos seus amigos (e quem sabe ao seu professor de Matemática!) que já domina a técnica de multiplicar mentalmente qualquer número de dois algarismos por 11. No entanto, prepare-se porque o mais provável é perguntarem-lhe quanto é 99 x 11. Ora então, 9 + 9 = 18, pelo que o resultado de 99 x 11 é 1089. Caro leitor, se me permite, a minha sugestão é que pratique e exercite as suas novas habilidades durante mais algum tempo. Mal certamente não lhe fará, se quiser brilhar na arte de calcular!
Agora vou colocar o chapéu de professora de matemática e explicar por que razão esta regra que vos disse funciona sempre. A figura 1ilustra o algoritmo da multiplicação, hoje em dia também conhecido como “multiplicação em pé”. Concentremo-nos na multiplicação de 45 x 11. Ora, 45 x 11 significa 45 x (1 + 10) = 45 x 1 + 45 x 10. Multiplicar um número qualquer por 1 obtém-se este mesmo número (por esta razão o número 1 diz-se o elemento neutro da multiplicação). Multiplicar um número inteiro por 10, obtém-se este número com um algarismo zero nas unidades, ou seja, o número original aparece deslocado uma posição para a esquerda. A regra que vos falei é explícita na soma: o algarismo das unidades é sempre adicionado a zero, por isso dá sempre este algarismo, no nosso caso, 5 + 0 = 5; o algarismo do meio resulta da adição do primeiro e do segundo algarismos do número, 4 + 5 = 9, como se torna claro na soma apresentada na figura; o algarismo das centenas no resultado é, neste caso, o algarismo das dezenas do número, ou seja 4. Como vimos antes, nem sempre é assim. Veja-se o segundo cálculo apresentado na figura 1. Neste caso, 7 + 4 = 11, que como dizemos, “sete mais quatro sãoonze; um e vai um”. Ora, este “e vai um” tem de ser adicionado ao algarismo das centenas do resultado, obtendo-se o valor 8 em vez de 7.
Prosseguindo, caso ainda não o tenha feito, não tardará a perguntar se poderá usar este método para multiplicar números com 3 ou mais algarismos por 11. Claro que pode, mas com as devidas adequações. Assim sendo, avancemos para o produto de 11 por um número de três algarismos e calculemos312 x 11. O resultado será um número com quatro algarismos que começa com 3 e acaba com 2 (tal como o 312) e entre o 3 e o 2 haverá dois algarismos que serão, da esquerda para a direita, a soma dos dois primeiros algarismos de 312 (os algarismos das centenas e das dezenas), isto é, 3 + 1 = 4; e de seguida o resultado da adição do segundo e terceiro algarismos (algarismo das dezenas e das unidades de 312), isto é, 1 + 2 = 3, pelo que a solução é 3432. Como observamos, a regra é uma extensão da regra anterior e até é fácil de compreender tendo em conta o algoritmo da multiplicação que aprendemos na escola primária. Como sabemos, 312 x 11 = 312 x (1 + 10) = 312 x 1 + 312 x 10 = 312 + 3120, e esta multiplicação por 10 desloca os algarismos para a esquerda (uma posição) e introduz um zero à direita. Ora, este deslocamento faz com que se adicione 3 (o algarismo das centenas) com 1 (o algarismo das dezenas) e depois este 1 com 2 (o algarismo das unidades), como se pode ver na figura 1. É exatamente desta observação que resulta a regra que vos descrevi. Vejamos mais um exemplo, desta feita 136 x 11. O resultado será um número que começa em 1, acaba em 6 e entre estes acrescenta-se, da esquerda para a direita, 1 + 3 = 4 e depois 3 + 6 = 9, pelo o resultado é 1496. Este é um exemplo simples que ilustra o método e que até nos poupa certas complicações (uma vez que em cada uma das adições parciais, as somas são números com apenas um algarismo e, assim, não haverá “transportes”!). Se tivermos 943 x 11, como fazemos? Tendo em conta o procedimento para a multiplicação por 11 de um número com dois algarismos, como 9 + 4 = 13 e 4 + 3 = 7, o resultado é 10373.
Em jeito de exibição, eis alguns cálculos notáveis relacionados com o número 11 e cujos resultados são capicuas: 11 x 11 = 121; 111 x 111 = 12321; 1111 x 1111 = 1234321; 11111 x 11111 = 123454321.
Uma curiosidade: há quem leve a Numerologia de forma tão séria que condiciona as características gerais de uma cidade ou de um povo. Refira-se, por exemplo, Solothurn uma cidade helvética que é obcecada pelo número 11. Esta cidade possui 11 capelas, 11 igrejas, 11 museus, 11 torres e 11 fontes.
Independentemente de gostar ou não do número 11, de estar de férias ou não, aproveite este dia 11 (e todos os outros) da melhor maneira possível! É ocasião para recordar uma frase de Mahatma Gandhi “Viva como se fosse morrer amanhã. Aprenda como se fosse viver para sempre.” Boas férias e até setembro!

 

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Categorias: Opinião

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